Leyes de Kirchhoff sobre LVK y LIK

Introducción

Las leyes de Kirchhoff fueron formuladas por Gustav Kirchhoff en 1845, mientras aún era estudiante. Son muy utilizadas en ingeniería eléctrica para obtener los valores de la corriente y el potencial en cada punto de un circuito eléctrico. Surgen de la aplicación de la ley de conservación de la energía.

Estas leyes nos permiten resolver los circuitos utilizando el conjunto de ecuaciones al que ellos responden. En la lección anterior Ud. conoció el laboratorio virtual LW. 

El funcionamiento de este y de todos los laboratorios virtuales conocidos se basa en la resolución automática del sistema de ecuaciones que genera un circuito eléctrico. Como trabajo principal la PC presenta una pantalla que semeja un laboratorio de electrónica pero como trabajo de fondo en realidad esta resolviendo las ecuaciones matemáticas del circuito.

Lo interesante es que lo puede resolver a tal velocidad que puede representar los resultados en la pantalla con una velocidad similar aunque no igual a la real y de ese modo obtener gráficos que simulan el funcionamiento de un osciloscopio, que es un instrumento destinado a observar tensiones que cambian rápidamente a medida que transcurre el tiempo.

La Ley de corrientes de Kirchhoff o Ley de intensidades de Kirchhoff dice:

"La suma de las corrientes que entran en un área cerrada del circuito,  es igual a la suma de las corrientes que salen. Diciéndolo de otra manera, el área bajo consideración es diferente. La suma de corrientes que entran a un nodo debe ser igual a cero (“0”)". Siempre se debe tomar a las corrientes que entran al nodo como positivas y a las del nodo como negativas. Entonces:

Corrientes que entran al nodo = corrientes que salen del nodo  ó  Corrientes que entran al nodo – corrientes que salen del nodo = 0

En el caso de la figura anterior, la corriente que sale de la fuente Ient, se divide en dos, pasando I1 por el resistor R1 e I2 por el resistor R2. Posteriormente estas dos corrientes se vuelven a unir y forman una sola corriente antes de regresar a la fuente original Ient, De esta manera se cumple nuevamente la ley de corrientes de Kirchhoff en el nodo que está debajo de la resistencia R1.

Ient (corriente que entra) = I1 + I2 (corrientes que salen).

La ley de corrientes de Kirchhoff es muy útil, para encontrar el valor de una corriente en un circuito cuando conocemos las otras que alimentan un nodo.

Si bien en el gráfico el círculo rojo sólo abarca un área pequeña, podría abarcar un área mucho más grande. Este circulo podría abarcar un área mayor del circuito y la ley de corrientes de Kirchhoff se seguiría cumpliendo. Ver círculo verde en el gráfico anterior.

Esta ley, al igual que la ley de voltajes de Kirchhoff, fue creada por el físico prusiano Gustav Robert Kirchhoff que contribuyó grandemente en el campo de los circuitos eléctricos.

Método de análisis de mallas

El método de análisis de mallas es muy utilizado para resolver circuitos resistivos (circuitos con sólo resistencias) lineales (este método, un poco más ampliado, se aplica a también a circuitos resistivos – reactivos). Resolver en este caso significa obtener los valores que tienen las corrientes en todas las resistencias que haya en el circuito.

Conociendo estos valores se pueden obtener otros datos como: tensiones, potencias, etc., en todos los elementos del circuito. Este método se basa en la ley de tensiones de Kirchoff:

La suma de las caídas de tensiones en todas las resistencias es igual a la suma de todas las fuentesde tensión en un camino cerrado en un circuito.

Los pasos a seguir son:

1.- Graficar el circuito a analizar de manera que no exista ningún conductor (de ser posible) que cruce sobre otro.

2.- Convertir las fuentes de corriente en fuentes de tensión

3.- Dibujar las corrientes que circulan por el circuitos con las puntas de las flechas indicando que van en el sentido de las agujas del reloj. Las corrientes se denominan I1, I2, I3,….etc. Ver ejemplo al final.

4.- Formar una tabla con las ecuaciones obtenidas del circuito (con ayuda de la ley de Kirchoff). El número de filas de la tabla es el mismo que el número de corrientes establecidas en el paso 3.

   a)  Hay 3 columnas: Las columnas A y B se ponen al lado izquierdo del signo igual y la columna C al lado derecho del mismo signo.

5.- Para cada ecuación, el termino correspondiente en la columna A es: la corriente IN multiplicada por la suma de las resistencias por donde IN circula. (donde N es: 1, 2, 3, …, etc.)

6.- Los términos de la columna B se restan de los términos de la columna A. Para cada ecuación N, este término consiste de resistencia o resistencias que son atravesadas por corrientes que no es IN y se multiplican por esta otra corriente IX.

   a) Es posible que por esta o estas resistencias (mutuas) pase más de una corriente aparte de la corriente IN. En este caso la columna B tendrá términos con la forma: –R5 (I4+I5).

   b) También es posible que en una malla N halla 2 o más resistores (mutuos) que sean atravesados por corrientes diferentes a IN (son corrientes de otras mallas). En este caso la columna B estará compuesta de 2 o más términos (ejemplo: – R1I3 – R6I7.)

7.- La columna C está compuesta de términos, que son la suma algebraica de las fuentes de tensión por donde pasa IN. La fuente se pone positiva si tiene el mismo sentido de la corriente y negativo si tiene sentido opuesto.

8.- Una vez elaborada la tabla, se resuelve el sistema de ecuaciones para cada IN. Se puede hacer por el método de sustitución o por el método de determinante. Al final si un valor de I tiene un valor negativo significa que el sentido original supuesto para ella era el opuesto.

Ejemplo: Para obtener los valores de las corrientes en el siguiente circuito, se siguen los pasos antes descritos y se obtiene la tabla.

Como hay tres corrientes incógnitas, hay tres filas en la tabla. Utilizando el método de sustitución o con ayuda de la determinantes se obtienen los siguientes valores:

I1 = 0.348 amperios

I2 = 0.006285 amperios

I3 = -1.768 amperios. (el signo menos indica que el sentido supuesto de la corriente I3 no era el correcto).

Análisis de nodos en circuitos resistivos

El método de análisis de nodos es muy utilizado para resolver circuitos resistivos lineales (este método, un poco más ampliado, se aplica a también a circuitos resistivos – reactivos)

Resolver en este caso significa obtener los valores que tienen las tensiones en todas las resistencias que haya en el circuito. Conociendo estos valores se pueden obtener otros datos como: corrientes, potencias, etc., en todos los elementos del circuito. El análisis de nodos se basa en la ley de corrientes de Kirchoff:

La suma algebraica  de las corrientes que salen y entran de un nodo es igual a cero.

Donde un nodo se define como el lugar en el circuito donde se unen de dos o más ramas.

Pasos a seguir en el análisis de nodos son:

1.-Convertir todas las fuentes de tensión en fuentes de corriente (ver Teorema de Norton)

2.-Escoger un nodo para que sea el nodo de referencia (usualmente se escoge tierra).

3.-Etiquetar todos los otros nodos con V1, V2, V3, V4, etc.

4.-Armar una tabla para formar las ecuaciones de nodos. Hay 3 columnas y el número de filas depende del número de nodos (no se cuenta el nodo de referencia)

5.-El término de la columna A es la suma de las conductancias que se conectan con en nodo N multiplicado por VN

6.-Los términos de la columna son las conductancias que se conectan al nodo N y a otro nodo X por VX (El nodo de referencia no se incluye como nodo X). Pueden haber varios términos en la columna B. Cada uno de ellos se resta del término de la columna A.

7.-El término de la columna C, al lado derecho del signo de igual, es la suma algebraica de todas las fuentes de corriente conectadas al nodo N. La fuente es considerada positiva si suministra corriente hacia el nodo (al nodo) y negativa si la corriente sale del nodo

8.-Una vez elaborada la tabla, se resuelve el sistema de ecuaciones para cada VN. Se puede hacer por el método de sustitución o por el método de determinante. Al final si un valor de V tiene un valor negativo significa que la tensión original supuesto para el era el opuesto.

Obtener los valores de las tensiones V1 y V2 en al gráfico siguiente:

Primero se transforman todas las fuentes de tensión en fuentes de corriente (Teorema de Norton) y se obtiene el primer circuito. Después se calculan las resistencias equivalentes de las resistencias en paralelo (2 y 4 ohmios en V1 ) y (2 y 4 ohmios en V2).

En el análisis de nodos, es más cómodo utilizar conductancias en vez de resistencias. Se transforma cada una de ellas en su valor de conductancia correspondiente y se obtiene el circuito que sigue:

Se escoge el nodo inferior (unión de todas las resistencias menos la de 5 ohmios) como nodo de referencia y se etiquetan los otros nodos V1 y V2, como se ve en al figura. Se implementa la tabla de dos filas (2 ecuaciones) pues hay dos nodos sin tomar en cuenta el nodo de referencia.

Con la tabla generada se procede a la solución de las variables V1 y V2, ya sea por el método de sustitución o con ayuda de determinantes. Los resultados son: V1 = 9.15 voltios, V2 = – 6.5 voltios.